О совпадении минимаксного решения и функции цены игры быстродействия с линией жизни

В статье рассматриваются дифференциальные игры быстродействия с линией жизни. В таких играх наряду с терминальным множеством, куда стремится как можно быстрее привести систему первый игрок, имеется еще одно множество (называемое линией жизни), при попадании системы на которое выигрывает второй игрок. В качестве платы рассматривается результат применения замены Кружкова к времени достижения системой терминального множества. Также рассматриваются уравнения Гамильтона - Якоби, соответствующие таким играм. Обосновывается существование минимаксного решения у краевой задачи уравнения типа Гамильтона - Якоби. Для этого вводятся достаточно сильные предположения на динамику игры вблизи границы области, на которой игра происходит. А именно, каждый игрок имеет возможность направить движение системы на свое множество (первый - на терминальное, второй - на линию жизни), если система находится вблизи соответствующего множества. Такие предположения фактически приводят к непрерывности функции цены на области, где происходит игра. В тех же предположениях доказывается совпадение функции цены игры и минимаксного решения краевой задачи.