Неравенство Планшереля - Полиа для целых функций экспоненциального типа в $L^2(\mathbb{R}^n)$
Е. В. Берестова Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина, г. Екатеринбург
Аннотация:
Пусть
$\mathfrak{M}_{\sigma,n}^p$,
$p>0,$ есть множество целых функций
$f$ от
$n$ комплексных переменных, имеющих экспоненциальный тип
$\sigma=(\sigma_1,\ldots,\sigma_n),$ $\sigma_k>0,$ сужение которых на
$\mathbb{R}^n$ принадлежит
$L^p(\mathbb{R}^n).$ В 1937 г. Планшерель и Полиа показали, что справедливо неравенство $\sum_{k \in \mathbb{Z}^n}|f(k)|^p \le c_p(\sigma, n) \|f\|^p_{L^p(\mathbb{R}^n)},$
$f\in \mathfrak{M}_{\sigma,n}^p,$ с конечной константой
$c_p(\sigma, n)$. В работе изучается неравенство Планшереля - Полиа при
$p=2$. Если
$0<\sigma_k\le \pi,$ то в силу теоремы отсчетов Уитткера - Котельникова - Шеннона и ее обобщения на многомерный случай, установленного Планшерелем и Полиа,
$c_2(\sigma, n)=1$ и любая функция
$f\in \mathfrak{M}_{\sigma,n}^2$ является экстремальной. В общем случае в работе доказано, что $c_2(\sigma, n)=\prod_{k = 1}^{n}\left\lceil~\sigma_k/\pi \right\rceil~$, и описан класс экстремальных функций. Также выписана двойственная задача $\big|\sum _{k \in \mathbb{Z}^n} (g\ast g)(k)\big| \le d_2(\sigma,n) \|g\|_2^2,$
$g \in L^2\left(\Omega\right).$ Доказано равенство
$c_2(\sigma,n)=d_2(\sigma,n)$ и описан класс экстремальных функций.
Ключевые слова:
неравенство Планшереля - Полиа, пространство Пэли - Винера, целая функция экспоненциального типа, преобразование Фурье.
УДК:
517.53
MSC: 30D10,
30D15,
42A99 Поступила в редакцию: 23.06.2018
DOI:
10.21538/0134-4889-2018-24-3-27-33