Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с малым коэффициентом коэрцитивности

Рассматривается задача оптимального управления решениями краевой задачи для сингулярно возмущенного эллиптического оператора в области $\Omega$ с распределенным управлением  
$$\mathcal{L}_\varepsilon z_\varepsilon \mathop{:=}\nolimits  -\varepsilon^2 \Delta z_\varepsilon  +  a(x) z_\varepsilon = f + u_\varepsilon,\ \  x\in \Omega,\ \  z_\varepsilon\in H^1_0(\Omega),$$
 
$$ u_\varepsilon\in\mathcal{Г}\mathop{:=}\nolimits\{u(\cdot)\in L_2(\Omega)\colon \|u(\cdot)\|\leqslant 1 \,\},$$
 
$$ J\mathop{:=}\nolimits\|z_\varepsilon(\cdot)-z_d(\cdot)\|^2 + \nu^{-1}\|u_\varepsilon(\cdot)\|^{2}  \rightarrow \mathrm{inf}.$$
Получены априорные оценки системы оптимальности, которые показывают, что формальное асимптотическое решение системы оптимальности есть асимптотическое разложение  искомого решения этой системы. Построено полное асимптотическое разложение в смысле Эрдейи по степеням малого параметра решения системы оптимальности для рассматриваемой задачи оптимального управления. В отличие от предыдущих работ аналогичной тематики, неотрицательный потенциал  $a(\cdot)$ может  обращаться в ноль в конечном числе точек. Данная задача  обладает большей регулярностью по сравнению с задачей исследования  асимптотического разложения краевой задачи для указанного оператора. Асимптотическое разложение решения состоит из внешнего  степенного разложения и внутреннего (в окрестности границы области  $\Omega$) с экспоненциально убывающими коэффициентами.