О распознаваемости спорадических простых групп $Ru$, $HN$, $Fi_{22}$, $He$, $M^cL$ и $Co_3$ по графу Грюнберга - Кегеля

Графом Грюнберга — Кегеля (графом простых чисел) $\Gamma(G)$ конечной группы $G$ называется граф, в котором вершинами служат простые делители порядка группы $G$ и две различные вершины $p$ и $q$ смежны тогда и только тогда, когда $G$ содержит элемент порядка $pq$. В теории конечных групп активно развиваются исследования распознаваемости конечных групп по графу Грюнберга — Кегеля. Для конечной группы $G$ через $h_{\Gamma}(G)$ обозначается число всех попарно не изоморфных конечных групп $H$ таких, что $\Gamma(H)=\Gamma(G)$ (если множество таких групп $H$ бесконечно, то пишем $h_{\Gamma}(G)=\infty$). Группа $G$ называется $n$-распознаваемой по графу Грюнберга — Кегеля, если $h_{\Gamma}(G)=n<\infty$, распознаваемой по графу Грюнберга — Кегеля, если $h_{\Gamma}(G)=1$, и нераспознаваемой по графу Грюнберга — Кегеля, если $h_{\Gamma}(G)=\infty$. Говорят, что проблема распознаваемости по графу Грюнберга — Кегеля решена для конечной группы $G$, если найдено значение $h_{\Gamma}(G)$. Для нераспознаваемой по графу Грюнберга — Кегеля конечной группы $G$ интересен также вопрос о (нормальном) строении конечных групп с таким же графом Грюнберга — Кегеля, как у $G$. В 2003 г. M. Хаги исследовала строение конечных групп, граф Грюнберга — Кегеля которых равен графу Грюнберга — Кегеля какой-либо спорадической простой группы. В частности, в этой работе были даны первые примеры конечных групп, распознаваемых по графу Грюнберга — Кегеля, а именно, спорадические простые группы $J_1$, $M_{22}$, $M_{23}$, $M_{24}$ и $Co_2$. Однако это исследование не было завершено. В 2006 г. в работе А. В. Заварницина была установлена распознаваемость по графу Грюнберга — Кегеля группы $J_4$. Нераспознаваемость по графу Грюнберга — Кегеля спорадических групп $M_{12}$ и $J_2$ была известна ранее, она следует из нераспознаваемости этих групп по спектру. В данной статье продолжается исследование Хаги с использованием ее результатов. Для каждой из спорадических простых групп $S$, изоморфных $Ru$, $HN$, $Fi_{22}$, $He$, $M^cL$ или $Co_3$, определены все конечные группы с таким же графом Грюнберга — Кегеля, как у $S$. Тем самым для этих шести групп $S$ завершено исследование Хаги, и, в частности, решена проблема распознаваемости по графу Грюнберга — Кегеля.