Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {30,22,9;1,3,20}

Дистанционно регулярный граф диаметра 3 называется графом Шилла, если он имеет второе собственное значение $\theta_1=a_3$. В этом случае $a=a_3$ делит $k$ и полагают $b=b(\Gamma)=k/a$. Кулен и Пак перечислили массивы пересечений дистанционно регулярных графов Шилла с $b=3$. Известно существование графов с массивами пересечений $\{12,10,5;1,1,8\}$ и $\{12,10,3;1,3,8\}$. Ранее было доказано несуществование графов Шилла с массивами персечений $\{12,10,2;1,2,8\}$, $\{27,20,10;1,2,18\}$, $\{42,30,12;1,6,28\}$ и $\{105,72,24;1,12,70\}$. В работе изучены автоморфизмы дистанционно регулярного графа $\Gamma$ с массивом пересечений $\{30,22,9;1,3,20\}$, являющегося графом Шилла с $b=3$. Пусть $a$ — вершина графа $\Gamma$, $G={\rm Aut}(\Gamma)$ — неразрешимая группа, $\bar G=G/S(G)$ и $\bar T$ — цоколь группы $\bar G$. Тогда $\bar T\cong L_2(7),A_7,A_8$ или $U_3(5)$. Если $\Gamma$ есть реберно-симметричным графом, то группа $T$ — расширение неприводимого $F_2U_3(5)$-модуля $V$ с помощью $U_3(5)$, размерность $V$ над $F_2$ равна $20$, $28$, $56$, $104$ или $288$.