О связи классов функций ограниченной вариации и классов функций с фрактальным графиком

Для непрерывной на отрезке вещественнозначной функции $f$ вводится понятие модуля фрактальности $\nu(f, \varepsilon)$, сопоставляющего каждому $\varepsilon > 0$ минимальное число квадратов со сторонами длины $\varepsilon$, параллельными осям координат, которыми можно покрыть график функции $f$. Для невозрастающей функции $\mu: (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ рассматривается класс $F^{\mu}$ непрерывных на отрезке функций таких, что $\nu(f, \varepsilon) = O(\mu(\varepsilon))$. Описано соотношение классов $F^{\mu_1}$ и $F^{\mu_2}$ при различных $\mu_1$ и $\mu_2$. Установлена связь между классами $F^{\mu}$ и классами непрерывных функций ограниченной вариации $BV_{\Phi}[a, b] \cap C[a, b]$ для произвольных выпуклых функций $\Phi$. А именно, имеет место вложение
\begin{equation*} BV_{\Phi}[a,b] \cap C[a,b] \subset F^{\frac{\Phi^{-1}(\varepsilon)}{\varepsilon^2}}. \end{equation*}
Строится контрпример, показывающий, что данное вложение не улучшаемо. Далее показано, что равенство классов $F^{\mu}$ и $BV_{\Phi}[a,b] \cap C[a,b]$ имеет место только в случае
\begin{equation*} BV[a,b] \cap C[a,b] = F^{1/\varepsilon}, \end{equation*}
где $BV[a,b]$ — функции классической ограниченной вариации. Для остальных случаев построен контрпример, показывающий, что если $\mu(\varepsilon)$ растет быстрее $\dfrac{1}{\varepsilon}$ при $\varepsilon \to +0$, то класс $F^{\mu}$ не вкладывается ни в какой из классов $BV_{\Phi}[a, b]$.