Коллокационные методы с полиномами четвертой степени на треугольных сетках и их применение для расчета изгиба круглых пластин с отверстиями

Разработан новый коллокационный метод ($h$-КМ$_4$) численного решения двумерных эллиптических задач со старшими производными второго порядка. В качестве аппроксимации выступали полиномы четвертой степени в треугольных ячейках сетки, сгенерированной в пакете Gmsh. Неизвестные коэффициенты полиномиального разложения определялись из решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), состоящей из уравнений коллокации, условий согласования и краевых условий. В $h$-КМ$_4$ СЛАУ является квадратной, что принципиально отличает его от опубликованных ранее вариантов метода коллокации и наименьших квадратов, в котором выписываются аналогичные уравнения, но СЛАУ переопределена. Последнее приводит к увеличению времени вычислений и необходимости поиска специальных значений весовых коэффициентов, на которые домножаются уравнения приближенной задачи. Численно установлен четвертый порядок сходимости $h$-КМ$_4$ на гладких тестовых решениях уравнения Пуассона и системы уравнений с частными производными (УЧП), возникающей при расчете изгиба пластин в рамках теории Рейсснера — Миндлина (ТРМ). Продемонстрирована возможность рассчитывать напряженно-деформированное состояние (НДС) достаточно тонких пластин в ТРМ с помощью $h$-КМ$_4$. Показано, что для решения системы УЧП, описывающей изгиб пластины в рамках теории Кирхгофа — Лява (ТКЛ) в смешанной постановке, необходимо в $h$-КМ$_4$ увеличивать количество уравнений приближенной задачи. Таким образом, аппроксимация свелась к построению нового варианта метода коллокации и наименьших квадратов ($h$-МКНК$_4$), имеющего порядок сходимости не хуже третьего. Проведен анализ НДС круглых пластин с отверстиями в зависимости от толщины пластины в ТРМ и ТКЛ, а также от эксцентриситета в случае одного отверстия. Для повышения точности вычислений в задачах с большими градиентами и ограниченной гладкостью решения использовались адаптивные сетки, позволяющие в последнем случае повышать порядок сходимости. Их применение расширило возможности разработанных здесь $h$-КМ$_4$ и $h$-МКНК$_4$ по сравнению с предыдущими вариантами метода коллокации и наименьших квадратов, что подтверждено численными экспериментами.