Решеточные характеризации $p$-разрешимых и $p$-сверхразрешимых конечных групп

Пусть $G$ — конечная группа и ${\mathcal L}(G)$ — решетка всех подгрупп группы $G$. Подгруппа $M$ группы $G$ называется модулярной в $G$, если $M$ — модулярный элемент (в смысле Куроша) решетки ${\mathcal L}(G)$, т. е. (1) $\langle X, M \cap Z \rangle=\langle X, M \rangle \cap Z$ для всех $X \leq G, Z \leq G$ таких, что $X \leq Z$, и (2) $\langle M, Y \cap Z \rangle=\langle M, Y \rangle \cap Z$ для всех $Y \leq G, Z \leq G$ таких, что $M \leq Z$. Если $A$ — подгруппа группы $G$, то $A_{m G}$ — подгруппа в $A$, порожденная всеми теми ее подгруппами, которые модулярны в $G$. Мы говорим, что подгруппа $A$ является $N$-модулярной в $G$ ($N\leq G$), если для некоторой модулярной подгруппы $T$ группы $G$, содержащей $A$, $N$ изолирует пару $(T, A_{mG})$, т. е. $N\cap T=N\cap A_{mG}$. Используя эти понятия, мы даем новые характеризации $p$-разрешимых и $p$-сверхразрешимых конечных групп.