Сравнение пространств функционалов с конечным носителем

В данной статье под функционалом понимается всякая непрерывная вещественнозначная функция $f$ на $C_p(X)$ такая, что $f(0)=0$. Изучается пространство $FS(X)$ функционалов с конечным носителем и его подпространство $\hat{L}_p(X)$. Эти пространства сравниваются с пространством линейных непрерывных функционалов $L_p(X)$. Доказана теорема об общем виде функционала с конечным носителем. С ее помощью показано, что три упомянутых пространства функционалов попарно различны. Доказано, что $FS(X)$ всюду плотно в пространстве всех функционалов. Доказано, что $\hat{L}_p(X)$ нигде не плотно в пространстве всех функционалов, но сумма $L_p(X)+ \hat{L}_p(X)$ всюду плотна в нем. Последний факт указывает, что пространство $\hat{L}_p(X)$ существенно шире, чем $L_p(X)$. Пространство функционалов $\hat{L}_p(X)$ определяет некоторый класс $\hat LH$ гомеоморфизмов пространств непрерывных функций, подобно тому как пространство $L_p(X)$ определяет класс линейных гомеоморфизмов. Уже известно, что гомеоморфизмы из класса $\hat LH$ сохраняют число Линделёфа области определения. В данной статье доказано, что не всегда гомеоморфизм класса $\hat LH$ можно заменить на линейный. Следовательно, мы имеем обобщение известной теоремы Бузиада об $l$-инвариантности числа Линделёфа.