Двумерное множество достижимости машины Дубинса при импульсном управлении

Рассматривается задача о построении двумерного множества достижимости машины Дубинса на плоскости геометрических координат в фиксированный момент окончания $t_f$. Скалярное управление задает мгновенную угловую скорость поворота объекта и предполагается непрерывным. Интеграл от абсолютной величины управления считаем ограниченным. Известно, что множество достижимости в таком случае не является замкнутым. В работе исследуется замыкание множества достижимости при помощи “импульсных” управлений. Установлено, что в каждую точку замыкания можно перейти при помощи импульсного управления. При этом количество импульсов — не более двух. Если импульсов два, то первый реализуется в начальный момент $t_0=0$,  а второй — в момент $(2/3)t_f$.  Доказательство такого факта опирается на специальное свойство фокальных радиусов эллипса. Дается параметрическое описание границы множества достижимости. Приведены результаты моделирования.