Некоторые свойства многочленов Якоби, ортогональных на окружности
В. М. Бадков Институт математики и механики УрО РАН
Аннотация:
Пусть
$\{\psi^{(\alpha,\beta)}_n(z)\}_{n=0}^\infty$ – система многочленов Якоби, ортонормированная на окружности
$|z|=1$ с весом $(1-\cos\tau)^{\alpha+1/2}(1+\cos\tau)^{\beta+1/2}$ (
$\alpha,\beta>-1$); $\psi_n^{(\alpha,\beta)*}(z):=z^n\overline{\psi_n^{(\alpha,\beta)}(1/\overline z)}$. В работе устанавливается связь многочлена
$\psi_n^{(\alpha,-1/2)}(z)$ c
$n$-м
$(C,\alpha-1/2)$-средним ряда Маклорена функции
$(1-z)^{-\alpha-3/2}$, а также многочлена
$\psi_n^{(\alpha,-1/2)*}(z)$ – c
$n$-м
$(C,\alpha+1/2)$-средним ряда Маклорена функции
$(1-z)^{-\alpha-1/2}$. С учетом этой связи для
$\psi_n^{(\alpha, -1/2)}(z)$ выводится асимптотическая формула, равномерная внутри круга
$|z|<1$. Из этой формулы следует, что при фиксированных
$\rho\in(0,1)$ и
$\alpha>-1$ и достаточно большом
$n$ многочлен
$\psi_n^{(\alpha,-1/2)}(z)\neq0$ в круге
$|z|\le\rho$.
Ключевые слова:
многочлены Якоби, средние Чезаро, асимптотическая формула, нули.
УДК:
517.5
Поступила в редакцию: 11.02.2010