О некоторых парах неприводимых характеров групп $S_n$

Продолжается изучение пар неприводимых характеров симметрической группы $S_n$, имеющих одно и то же множество корней на одном из множеств $A_n$ и $S_n\setminus A_n$. Найдены все такие пары неприводимых характеров группы $S_n$ в случае, когда наименьшая из длин главных диагоналей диаграмм Юнга, соответствующих этим характерам, не превосходит двух. Получены некоторые доводы в пользу гипотезы: знакопеременные группы $A_n$ не имеют пар полупропорциональных неприводимых характеров.