Эта публикация цитируется в
1 статье
Неограниченные решения вырождающихся эллиптических уравнений
Г. Н. Яковлев
Аннотация:
В полупространстве
$x_n>0$ $n$-мерного евклидова пространства точек
$x=(x^1,x_n)=(x_1,\dots,x_{n-1},x_n)$ рассматривается уравнение
\begin{equation}
\sum_{i,j=1}^{n-1}\frac\partial{\partial x_i}\biggl(a_ij\frac{\partial u}{\partial x_j}\biggr)+\frac\partial{\partial x_n}\biggl(a\frac{\partial u}{\partial x_n}\biggr)=0
\end{equation}
с измеримыми коэффициентами, удовлетворяющими условиям
$$
a_{ij}(x)=a_{ij}(x), a(x)=b(x^1)\varphi(x_n),\qquad \varphi(x_n)>0
$$
и
$$
c_1x_n^{2\alpha}|\xi|^2\le\sum^n_{i,j=1}a_{ij}\xi_i\xi_j+a\xi_n^2\le c_2x_n^{2\alpha}|\xi|^2,
$$
где
$2\alpha>1$,
$|\xi|$ – длина вектора
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)$, а
$c_1$ и
$c_2$ – положительные постоянные.
Пусть
$$
\Psi(x_n)=\int_{x_n}^{+\infty}\varphi(t)^{-1}\,dt.
$$
Показывается, что для любой функции
$f_0(x^1)\in L_2^{\frac12-\gamma}$,
$2\gamma<1$, существует такое обобщенное решение
$u(x)$ уравнения (1), что
$\Psi^{-1}(u)=f_0(x^1)$ при
$x_n=0$ и
$$
\|x_n^\gamma\nabla(\Psi^{-1}u)\|_{L_2}\le c\|f_0\|_{L_2^{\frac12-\gamma}},
$$
где постоянная
$c$ не зависит от
$f_0$. Это решение единственное в классе функций, для которых
выражение
$\|x_n^\gamma\nabla(\Psi^{-1}u)\|_{L_2}$ конечно
Библиогр. 13 назв.
УДК:
518.333