Об одной задаче асимптотического анализа, связанной с построением области достижимости

Задачи о построении и исследовании свойств областей достижимости играют важную роль в теории управления и ее приложениях. В частности, это относится к управлению при ограничениях импульсного характера, отражающих энергетику процесса. Ситуация осложняется возможной неустойчивостью процесса при изменении (в частности, при ослаблении) ограничений, связанных с краевыми и промежуточными условиями. Устойчивость задачи отсутствует, вообще говоря, и при ослаблении фазовых ограничений. В этих случаях естественно ориентироваться на асимптотический вариант постановки; это тем более целесообразно в условиях, когда приходится иметь дело с изначально асимптотическими требованиями. Во всех этих случаях представляется целесообразным использовать аналоги приближенных решений Дж. Варги. В то же время для поиска нужных приближенных (а по сути, асимптотических) решений естественно использовать обобщенные режимы, которые для задач с импульсными ограничениями и разрывностью в коэффициентах при управляющих воздействиях уже в классе линейных систем приводят к эффектам, имеющим смысл произведения разрывной функции на обобщенную. В большой серии работ одного из авторов для преодоления возникающих при этом трудностей были использованы конструкции расширения в классе конечно аддитивных мер. Настоящая работа следует данному подходу и в смысле своей идейной направленности отвечает инженерной задаче управления силой тяги двигателя в условиях заданной программы изменения его ориентации; при этом постулируется полное расходование энергоресурса в естественном (для целого ряда задач импульсного управления) режиме “узких” импульсов: множество моментов времени, для которых мгновенное управление отлично от нуля, допускает вложение в промежуток исчезающе малой длины. За это “короткое” время надо израсходовать весь энергоресурс, соблюдая с высокой степенью точности некоторые другие ограничения (по смыслу – моментные). При осуществлении этого следует учитывать возможную разрывность зависимостей, определяющих коэффициенты при управляющих воздействиях. В качестве естественного аналога области достижимости в работе используется множество притяжения, построение которого вместе с последующим изучением основных его свойств составляет цель настоящей работы.