Частные решения дискретного уравнения Пенлеве для квантовых минимальных поверхностей

Рассмотрены решения дискретного уравнения Пенлеве, которое возникает из конструкции квантовых минимальных поверхностей, предложенной Арнлиндом, Хоппе и Концевичем, и которое также присутствует в более ранней работе Корнальбы и Тейлора по статическим мембранам. Хотя это дискретное уравнение допускает в непрерывном пределе переход к дифференциальному уравнению Пенлеве I, обнаружено, что оно имеет то же самое пространство начальных значений, что и уравнение Пенлеве V при некоторых специальных значениях параметров. Далее явно показано, каким образом каждая итерация для этого дискретного уравнения Пенлеве I соответствует определенной композиции преобразований Беклунда для уравнения Пенлеве V, что было впервые отмечено в работе Токихиро, Грамматикоса и Рамани. Дополнительно показано, что некоторые явные решения уравнения Пенлеве V, выраженные в терминах специальных функций, а именно через модифицированные функции Бесселя, дают единственное положительное решение задачи Коши, которое требуется для квантовых минимальных поверхностей.