Решеточные $W$-алгебры и квантовые группы

Мы представляем конструкцию Фейгина решеточных $W$-алгебр и даем некоторые простые результаты: решеточные алгебры Вирасоро и $W_3$. Для простейшего случая $g=sl(2)$ мы вводим полную квантовую группу $U_q(sl(2))$ на этой решетке. Мы находим простейший двумерный модуль, а также перестановочные соотношения и определяем решеточную алгебру Вирасоро как алгебру инвариантов группы $U_q(sl(2))$. Другое обобщение связано с решеточными интегралами движения как инвариантами квантовой аффинной группы $U_q(\hat {n}_{+})$. Мы показываем, что волковская схема приводит к системе разностных уравнений на функцию некоммутирующих переменных.