Решения вида бегущей волны для уравнений Шварца–Кортевега–де Фриза в размерности $2+1$ и Абловитца–Каупа–Ньюэлла–Сегура, получаемые посредством редукций симметрий

Наиболее интересными решениями $(2+1)$-мерного интегрируемого уравнения Шварца–Кортевега–де Фриза (ШКдФ) являются солитонные решения. Ранее нами была получена полная групповая классификация для уравнения ШКдФ в размерности $2+1$. В настоящей работе с использованием классических симметрий Ли рассматриваются редукции, приводящие к решениям вида бегущей волны с различными скоростями в зависимости от вида некоторой произвольной функции. Соответствующие решения данного $(2+1)$-мерного уравнения включают до трех произвольных гладких функций, вследствие чего они демонстрируют весьма разнообразное качественное поведение. В частности, описано взаимодействие солитона Вадати с линейным солитоном. Более того, посредством преобразования Миуры уравнение ШКдФ тесно связано с уравнением Абловитца–Каупа–Ньюэлла–Сегура (АКНС) в размерности $2+1$. На основе классических симметрий Ли рассматриваются редукции, приводящие к решениям вида бегущей волны, для уравнения АКНС в размерности $2+1$. Интересно, что ни одна из рассматриваемых $(2+1)$-мерных интегрируемых систем не допускает подалгебр типа Вирасоро.