Скалярные произведения симметрических функций и матричные интегралы

Представлены соотношения между билинейными операторами типа Хироты, скалярными произведениями на пространствах симметрических функций и интегралами, задающими статистические суммы матричных моделей. Используя представление фермионного пространства Фока, удается доказать разлагаемость ассоциированного класса тау-функций $\tau_{r,n}$ иерархии Кадомцева–Петвиашвили и двумеризованной цепочки Тоды в ряд по функциям Шура, обобщающий разложение в гипергеометрический ряд и связанный с формулами скалярного произведения. Показано, как специально выбранные тау-функции из такого класса отождествляются как формальные ряды со статистическими суммами. Выведено в замкнутой форме разложение $\ln\tau_{r,n}$ в терминах функций Шура.