Эта публикация цитируется в
30 статьях
Решения трехмерного уравнения синус-Гордон
Э. Л. Аэро,
А. Н. Булыгин,
Ю. В. Павлов Институт проблем машиноведения РАН
Аннотация:
Получены точные решения
$U(x,y,z,t)$ трехмерного уравнения синус-Гордон в форме, которую ранее Лэм предложил для интегрирования двумерного уравнения синус-Гордон. Трехмерные решения зависят от произвольных функций
$F(\alpha)$ и
$\Phi(\alpha,\beta)$, аргументами которых являются функции
$\alpha(x,y,z,t)$ и
$\beta(x,y,z,t)$. Анзацы должны удовлетворять некоторым уравнениям. В случае одного анзаца – это система алгебраических уравнений. В случае двух анзацев к системе алгебраических уравнений добавляются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Найденные решения
$U(x,y,z,t)$ обладают важным свойством; а именно, для функции
$\operatorname{tg}(U/4)$ выполняется принцип суперпозиции. Предложенный подход применим для решения обобщенного уравнения синус-Гордон, которое, в отличие от классического, дополнительно содержит частные производные первого порядка по переменным
$x$,
$y$,
$z$,
$t$, а также для интегрирования уравнения
$\sh$-Гордон. Предложенный подход допускает естественное обобщение на случай интегрирования перечисленных типов уравнений в пространстве любого числа измерений.
Ключевые слова:
уравнение синус-Гордон, волновое уравнение, уравнение Гамильтона–Якоби, принцип суперпозиции.
Поступило в редакцию: 23.05.2008
DOI:
10.4213/tmf6320