Как искать (и находить) лагранжианы

Хорошо известно, что для произвольного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка существует лагранжиан, и ключевым понятием при его построении оказывается последний множитель Якоби. Встает вопрос, можно ли таким образом строить лагранжианы для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка или для обыкновенных дифференциальных уравнений старших порядков? Показано, что последний множитель Якоби может играть основополагающую роль и в этом случае.