О разложениях по собственным функциям для уравнения Шредингера с обратноквадратичным потенциалом

Рассмотрено одномерное уравнение Шредингера $-f''+q_\kappa f=Ef$ на положительной полуоси с потенциалом $q_\kappa(r)=(\kappa^2-1/4)r^{-2}$. Для каждого комплексного $\vartheta$ построено решение $u^\kappa_\vartheta(E)$ данного уравнения, аналитическое по $\kappa$ в комплексной окрестности интервала $(-1,1)$ и, в частности, в “сингулярной” точке $\kappa=0$. При $-1<\kappa<1$ и вещественных $\vartheta$ решения $u^\kappa_\vartheta(E)$ однозначно определяют унитарный оператор разложения по собственным функциям $U_{\kappa,\vartheta}\colon L_2(0,\infty) \to L_2(\mathbb R,\mathcal V_{\kappa,\vartheta})$, где $\mathcal V_{\kappa,\vartheta}$ – положительная мера на пространстве $\mathbb R$. Показано, что каждая самосопряженная реализация формального дифференциального выражения $-\partial^2_r+q_\kappa(r)$ для гамильтониана диагонализуется оператором $U_{\kappa,\vartheta}$ при некотором $\vartheta\in\mathbb R$. При помощи подходящих сингулярных $m$-функций Титчмарша–Вейля явно найдены меры $\mathcal V_{\kappa,\vartheta}$ и доказана их непрерывность по $\kappa$ и $\vartheta$.