Интегрируемая иерархия, включающая иерархию Абловица–Каупа–Ньюэла–Сигура и ее строгую версию

Представлена интегрируемая иерархия, которая включает в себя и иерархию Абловица–Каупа–Ньюэла–Сигура, и ее строгую версию. Проведено разложение пространства петель $\mathfrak g$ для алгебры $gl_2$ на подалгебры Ли $\mathfrak g_{\geq 0}$ и $\mathfrak g_{<0}$ всех петель с положительными степенями петельного параметра и всех петель со строго отрицательными степенями петельного параметра соответственно. Выбрана коммутативная подалгебра Ли $C$ во всем пространстве петель $\mathfrak s$ для алгебры $sl_2$, она представлена как $C=C_{\geq 0}\oplus C_{<0}$. Выполнена деформация подалгебры Ли $C_{\geq 0}$ группой, соответствующей $\mathfrak g_{<0}$, а подалгебры Ли $C_{<0}$ – группой, соответствующей $\mathfrak g_{\geq 0}$. Используется требование, чтобы эволюционные уравнения деформированных образующих элементов $C_{\geq 0}$ и $C_{<0}$ имели форму Лакса, определяемую исходным разложением. Доказаны совместность этой системы уравнений Лакса и ее эквивалентность множеству соотношений нулевой кривизны для проекций определенных произведений образующих элементов. Также определены подходящие модули петель и множество уравнений в этих модулях, называемое линеаризацией системы, из которого могут быль получены уравнения Лакса для иерархии. Проведена полезная характеризация особых элементов, появляющихся в линеаризации, – так называемых волновых матриц. Предлагается способ построения достаточно широкого класса решений смешанной иерархии Абловица–Каупа–Ньюэла–Сигура.