Линейно-квадратичная игра N лиц как аналог антагонистической игры

Как правило, для нахождения решения игры чаще всего используется понятие равновесие по Нэшу, которое обладает важным свойством устойчивости. Именно: отклонение от решения отдельного игрока не должно увеличить выигрыш отклонившегося. Однако равновесие по Нэшу не обладает внешней и внутренней устойчивостью. Внешняя, так и внутренняя неустойчивость множества равновесий по Нэшу — негатив при его практическом использовании. В связи с этим предлагается новое определение, а именно равновесие санкций и контрсанкций, которое основывается на концепции угроз и контругроз. Чтобы избежать внешней и внутренней неустойчивости, к определению было добавлено требование максимума по Парето. В подтверждение вышесказанного приводится доказательство отсутствия в рассматриваемой игре равновесия по Нэшу и устанавливается существование равновесия угроз и контругроз, а также существование равновесия санкций и контрсанкций. При нахождении решения данной линейно-квадратичной игры $N \geq 2$ лиц задача рассматривается с точки зрения двух разных концепций. Различие этих концепций заключается как раз в различии самих понятий «угроза» и «санкция», «контругроза» и «контрсанкция». В первом случае игроку не имеет смысла применять угрозу, т.к. он не сможет увеличить свою функцию выигрыша из-за применения к нему возможной контругрозы другим игроком. Во втором случае демонстрируется, как должен вести себя игрок, когда на него уже «обрушивается» санкция. В результате был получен явный вид нового решения линейно-квадратичной игры $N \geq 2$ лиц — равновесие санкций и контрсанкций, которое максимально по Парето (и поэтому внутренне и внешне устойчиво), обладает свойством индивидуальной рациональности. При этом в игре отсутствует равновесие по Нэшу.