Теоремы вложения для симметричных пространств измеримых функций

Пусть $m$ обычная мера Лебега на $\mathbb{R}_+ = [0,+\infty)$. Для симметричных (перестановочно инвариантных) пространств $\mathbf{E}$ на стандартном пространстве с мерой $(\mathbb{R}_+,m)$, мы будем рассматривать следующие вложения:
$$ \mathbf{L}_1\cap\mathbf{L}_\infty \subseteq \mathbf{\Lambda}^0_{\widetilde{V}}\subseteq \mathbf{E}^0\subseteq \mathbf{E}\subseteq \mathbf{E}^{11}\subseteq \mathbf{M}_{V_*} \subseteq \mathbf{L}_1+\mathbf{L}_\infty \;, $$
где $\mathbf{E}^0= cl_\mathbf{E}(\mathbf{L}_1\cap\mathbf{L}_\infty)$ — замыкание $\mathbf{L}_1\cap\mathbf{L}_\infty$ в $\mathbf{E}$, $\mathbf{E}^{11}=(\mathbf{E}^1)^1$ второе ассоциированное пространство к $\mathbf{E}$, $V(x)= \|1_{[0,x]}\|_\mathbf{E}$ фундаментальная функция симметричного пространства $\mathbf{E}$, $\displaystyle{V_*(x)= \frac{x}{V(x)}1_{(0,\infty)}(x)}$, $\widetilde{V}$ наименьшая вогнутая мажоранта $V$, $\mathbf{\Lambda}_{\widetilde{V}} $ и $ \mathbf{M}_{V_*}$ пространства Лоренца и Марцинкевича относительно весовых функций $\widetilde{V}$ и $V_*$ соответственно, $\mathbf{\Lambda}^0_{\widetilde{V}}=cl_{\mathbf{\Lambda}_{\widetilde{V}}}(\mathbf{L}_1\cap\mathbf{L}_\infty) $. В работе подробно изучаются вложения и неравенства для соответствующих норм.