О состоятельности оценок ортогонального разложения по системе многочленов Якоби

Рассмотривается непараметрическая регрессионная модель $Y_{i} =m(X_{i} )+\varepsilon _{i}$, $i=1,...,n$, где $m(x)$ — неизвестная функция регрессии, подлежащая оцениванию на основе эмпирических данных $\left\{\left(X_{i} ,Y_{i} \right)\right\}_{i=1}^{n} $, $\{ \varepsilon _{i} \} _{i=1}^{n} $ — случайные ошибки. Предполагается, что $X$ неслучайна, $m(x)$ удовлетворяет условию Липшица порядка 1, $\mathsf{E}\varepsilon _{i} =0$, $\mathsf{E}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}) =0$, $i\neq j$, и $\mathsf{E}\varepsilon _{i}^2 <C$, $i=1,\dots,n$. Кроме того, считаем, что наблюдения $\{ Y _{i} \} _{i=1}^{n} $ проведены в равноотстоящих точках $\{ X _{i} \} _{i=1}^{n} $ интервала $[-1, 1]$. В статье получено условие состоятельности оценки ортогонального разложения вида $\hat{m}_{N(n)} \left(x\right)=\sum _{j=0}^{N\left(n\right)}\hat{\beta}_{j} \varphi_{j} \left(x\right),$ $\hat{\beta }_{j} =\sum _{i=1}^{n}Y_{i} \int _{A_{i} }\varphi _{j} \left(x\right)\rho(x)\,dx$, где $\left\{A_{i} \right\}_{i=1}^{n} $ — множество неналегающих интервалов таких, что $\cup_{i=1}^n A_{i}=[-1,1]$, $X_{i} \in A_{i} $, $i=1,...,n$, $N(n)$ — подходящим образом подобранный номер и $\varphi _{j} \left(x\right)= P_{j}^{\, (\alpha ,\beta )} (x)$, $j=0,1,\dots,$ — многочлены Якоби, ортонормированные на $[-1,\, 1]$ с весом $\rho(x)=\left(1-x\right)^{\alpha } \left(1+x\right)^{\beta } $, $\alpha,\, \beta >-1$. Показано, что если в дополнение к перечисленным выше ограничениям выполнены условия $(N(n))^2=o(n)$, $\min\{\alpha;\, \beta\} >-{1}/{2}$ и $(N(n))^2=o(n/\log n)$, $\min\{\alpha;\, \beta\}=-{1}/{2}$, то при $N\left(n\right)\to \infty $ справедливо соотношение $\hat{m}_{N(n)} \left(x\right)\stackrel{p}{\longrightarrow} m\left(x\right), \;x\in(-1,1)$. Если к тому же $q=\max\{\alpha ;\beta\}<1/2$ и указанным выше ограничениям на рост удовлетворяет последовательность $\left(N(n)\right)^{2q+3}$, то $\hat{m}_{N(n)} \left(x\right)\stackrel{p}{\longrightarrow} m\left(x\right)$ для всех $x$ из отрезка $[-1,1]$.