Об операторах типа Харди
Е. А. Павлов Крымский инженерно-педагогический университет, инженерно-педагогический факультет, пер. Учебный, 8, Симферополь, 295015, Российская Федерация
Аннотация:
Г. Г. Харди доказал важное неравенство для конечных и бесконечных сумм арифметически средних в степени
$ p, $ где
$ p>1,$ и элементов
$ {a}_{n}^{p}.$ Затем Г. Г. Харди обобщил это неравенство на интегралы. С функциональной точки зрения интегральное неравенство Г. Г. Харди означает непрерывность оператора Харди-Литтльвуда в лебеговых пространствах
$ {L}_{p}, $ где
$ p>1.$ В данной статье изучен обобщенный оператор Харди-Литтльвуда с точки зрения ограниченности его действия в симметричных пространствах и более общих идеальных структурах, обладающих свойством Минковского, в которых ограниченно действует оператор растяжения. Получен критерий ограниченности этого оператора
$ {H}_{\varphi} $ (Харди-Литтльвуда) в симметричном пространстве
$ E $ для случая, когда верхний и нижний показатели функции растяжения
$ {\mu}_{\varphi} $ совпадают. Получены достаточные условия ограниченности оператора
$ {H}_{\varphi} $ в идеальных структурах с вышеперечисленными свойствами. В частности, получен критерий непрерывности оператора
$ {H}_{{t}^{l}} $ в симметричных пространствах. Этот оператор был рассмотрен в монографии С. Г. Крейна, Ю. И. Петунина и Е. М. Семенова, в которой были получены достаточные условия ограниченности этого оператора в
$ {L}_{p} $.
Ключевые слова:
симметрические пространства, идеал, решетка, оператор Харди.
УДК:
517.983.23
MSC: 47G10