Гладкие меры на многообразиях с римановой структурой

Статья посвящена актуальному и активно развивающемуся в настоящее время направлению развития анализа гладких мер на гладких бесконечномерных многообразиях. Важность этого направления диктуется обширной областью его приложений, включающих в себя бесконечномерный анализ и ряд разделов математической физики систем с бесконечным числом степеней свободы. В бесконечномерном анализе ввиду отсутствия стандартной меры типа меры Лебега пространства мер играют ту же роль, что и пространства функций. Поэтому в каждом из таких пространств независимым образом должно быть построено дифференциальное исчисление. При этом двойственным объектом к гладким мерам являются обобщённые функции, а к гладким функциям –– обобщенные меры. Дифференциальное исчисление мер в линейных пространствах получило свое развитие в работах С. В. Фомина, А. В. Авербуха, О. Г. Смольнова, а также в работах А. В. Скорохода. Но во всех этих работах рассматривалась дифференцирование мер по постоянным направлениям. Поэтому необходимо рассмотреть понятие производной меры вдоль векторного поля, имеющее смысл и в линейном пространстве, и на гладком многообразии. Устанавливается инвариантность производной меры вдоль векторного поля относительно гладких преобразований и устойчивость логарифмической производной меры относительно гладких обратимых отображений. При этом производная меры вдоль конечного набора векторных полей оказывается симметричной относительно векторных полей. Соответствующие конструкции приводят к обобщению на негауссов случай формул интегрирования по частям, лежащих в основе построения расширенных стохастических интегралов. Рассматриваются ковариантные дифференциальные операции на многообразиях со структурой Гильберта–Шмидта. Моделью такого многообразия является банахово оснащение вещественного сепарабельного гильбертова пространства. Формулы интегрирования по частям для таких многообразий тесно связаны с дифференциально-геометрическими характеристиками многообразия, они содержат тензор Риччи многообразия.