О больших уклонениях строго докритических ветвящихся процессов в случайной среде с геометрическим распределением числа потомков

Для строго докритического ветвящегося процесса $Z_n$ с геометрическим распределением числа непосредственных потомков в случайной среде $X_n$ из независимых одинаково распределенных величин найдена асимптотика вероятностей больших уклонений $P(\ln Z_n>tn)$ при $0 < t \le \mu^*$ в предположении, что шаг $X_i$ сопровождающего случайного блуждания $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ удовлетворяет правостороннему условию Крамера. Она экспоненциальна по $n$ с множителем при $n$, линейно зависящим от $t$. Ранее автором было показано, что при $t > \mu^*$ отношение вероятностей $P(\ln Z_n>tn)$ и $P(S_n>tn)$ стремится при $n\to\infty$ к положительной постоянной. Критическое значение $\mu^*$ параметра $t$ равняется производной преобразования Лапласа $\theta(\lambda) = E\,e^{\lambda X_1}$в точке $\lambda^*>1$, для которой $\theta(\lambda^*)=\theta(1)$. Для $t>\mu^*$ большие уклонения процесса $Z_n$ возникают за счет больших уклонений сопровождающего случайного блуждания. Для $t<\mu^*$ реализация больших уклонений протекает иначе: до случайного момента $T_n=n\widehat{s_t}+O_p(1)\sqrt{n}$, $\widehat{s}_t:=1-t/\mu^*$, от процесса $Z_n$ требуется лишь, чтобы он не вырождался, а на участке $[T_n, n]$ ему предписывается большое уклонение на величину порядка $\mu^* n(1-\widehat{s}_t)=tn$, которое реализуется так же, как и в случае $t>\mu^*$.