Асимптотика вероятности пересечения границы траекторией цепи Маркова. Регулярные хвосты скачков

Пусть $X(k)=x(u,k)$, $k=0,1,\dots$, — однородная во времени вещественнозначная эргодическая цепь Маркова с начальным значением $u\equiv X(u,0)=X(0)$. Изучается асимптотика вероятности пересечения траекторией $X(k)$ заданной границы $g(k)$, $k=0,1,\dots,n$: $\mathbf{P}\{\max_{k\leq n}(X(k)-g(k))>0\}$, где граница $g$ зависит, вообще говоря, от $n$, а также от некоторого растущего параметра $x$ таким образом, что $\min_{k\leq n}g(k)\to\infty$ при $x\to\infty$. Относительно цепи предполагается, что распределения приращений $\xi(u)=X(u,1)-u$ имеют правильно меняющиеся хвосты или мажорируются такими хвостами.
В работе получены предельные теоремы, описывающие асимптотику изучаемых вероятностей при весьма широких условиях в области как больших, так и нормальных уклонений, в том числе теоремы, действующие “равномерно на всей оси” с правыми частями, найденными в явном виде. Для положительно возвратных по Харрису цепей изучены также асимптотические свойства циклов по возвращению в положительный атом. Установлен аналог закона повторного логарифма.