Предельно эргодические марковские функционалы от эргодического процесса

Пусть $X(t)$ – однородный марковский эргодический процесс, заданный на фазовом пространстве $(E,\mathcal{B})$ и имеющий инвариантное распределение $\pi(\,\cdot\,)$, а $\{\xi_n(t)\}$ – последовательность обрывающихся марковских функционалов с моментами обрывов $\{\zeta_n\}$ и со множеством значений $I=\{1,2,\dots,d\}$, сходящаяся к тривиальному функционалу со стационарным распределением $\rho(\,\cdot\,)$. Указаны условия, при выполнении которых найдется последовательность $\varepsilon_n\to+0$, для которой справедливость соотношения $\mathbf{P}_{\pi,\rho}\{\zeta_n<\infty\}>0$ при всех достаточно больших $n$ влечет сходимость
$$ \lim_{n\to\infty}\mathbf{P}_{x,i}\biggl[\varphi\biggl(X\biggl(\frac t {\varepsilon_n}\biggr)\biggr),\varepsilon_n\biggl(\frac t{\varepsilon_n}\biggr)=j\biggr]=e^{-t}\rho(j)\int_E\pi(dy)\varphi(y) $$
для любых $t\ge0$, $x\in E$, $i,j\in I$ и всех непрерывных ограниченных функций $\varphi(y)$, $y\in E$.