Variations on the Berry–Esseen theorem

Пусть $X_1,\ldots,X_n$ — независимые одинаково распределенные случайные величины со средним нуль и с единичной дисперсией. Предположим, что $\mathbf{E}|X_1|^4\leq \delta^4$. мы заметим, что есть много способов выбрать коэффициенты $\theta_1,\ldots,\theta_n\in\mathbf{R}, \sum_j\theta_j^2=1$ так, чтобы выполнялось неравенство
$$ \sup_{\alpha,\beta\in\mathbf{R}, \alpha<\beta}\biggl|\mathbf{P}\biggl(\alpha\leq\sum_{j=1}^n \theta_j X_j\leq\beta\biggr)-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\alpha}^{\beta}e^{-t^2/2}dt\biggr|\leq\frac{C\delta^4}{n}, \qquad{(*)} $$
где $C>0$ — универсальная константа. Для сравнения, известно, что при $\theta=(1,\ldots,1)/\sqrt{n}$ оценка $O(1/\sqrt{n})$ левой части $(*)$, следующая из теоремы Берри–Эссена, в общем случае не может быть улучшена. Явный пример коэффициентов $\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_n)$, для которых выполнено неравенство $(*)$,
$$ \theta=\frac{(1,\sqrt{2},-1,-\sqrt{2},1,\sqrt{2},-1,-\sqrt{2},\dots)}{\sqrt{3n/2}} $$
при $n$, делящемся на 4. Часть рассуждений применима также и в более общем случае, когда $X_1,\ldots,X_n$ — независимые случайные величины со средним нуль и с единичной дисперсией, не обязательно являющиеся одинаково распределенными. В этой общей постановке оценка $(*)$ справедлива с $\delta^4=n^{-1}\sum_{j=1}^n\mathbf{E}|X_j|^4$ для большинства единичных векторов $\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_n)\in\mathbf{R}^n$. Здесь “большинство” понимается относительно равномерной вероятностной меры на единичной сфере.