On hitting times of the winding processes of planar Brownian motion and of Ornstein–Uhlenbeck processes, via Bougerol’s identity

Устанавливаются некоторые тождества по распределению для плоских комплекснозначных процессов Орнштейна–Уленбека $(Z_t=X_t+iY_t, T\geq 0)$, включая плоское броуновское движение, эквивалентные хорошо известному тождеству Бужероля для линейного броуновского движения $(\beta, t\geq 0):$ для любого фиксированного $u>0$
$$ \operatorname{sh} \beta_u\stackrel{\textrm{law}}{=}\hat{\beta}_{\int_0^uds\exp (2\beta_s)}, $$
где $(\hat{\beta}_t, t\geq 0)$ — броуновское движение, независимое от $\beta$.
Эти тождества по распределению для двумерных процессов позволяют изучать распределение моментов достижения $T_c^\theta\equiv\inf\{t: \theta_t=c\}$ $(c>0), T_{-d,c}^{\theta}\equiv\inf\{t:\theta\notin (-d,c)\}$ $(c,d>0)$ и, в частности, $T_{-c,c}^\theta\equiv \inf\{t:\theta_t\notin (-c,c)\}$ $(c>0)$ для непрерывного процесса $\theta_t=\textrm{Im}\,(\int_0^t Z_s^{-1}dZ_s), t\geq 0,$ — угла, заметаемого комплексным процессом Орнштейна–Уленбека.