Hardy’s condition in the moment problem for probability distributions

В терминах теории вероятностей условие Харди записывается так: $\mathbf{E}[e^{c\sqrt{X}}]<\infty$, где $X$ — неотрицательная случайная величина, $c=\textrm{const}>0$. При этом условии все моменты случайной величины $X$ конечны и однозначно определяют ее распределение. Это условие, основанное на двух работах Г. Г. Харди (1917/1918), является более слабым, чем условие Крамера, которое требует существования производящей функции моментов. Мы показываем, что в условии $\mathbf{E}[e^{cX^{\alpha}}]<\infty$ значение $\alpha=1/2$ (квадратный корень) неулучшаемо в том смысле, что это наименьшая степень $X$, при которой это условие обеспечивает моментную определенность $X$. Описывается связь условия Харди со свойствами моментов $X$. Используя это условие, мы устанавливаем результат о моментной определенности произвольного многомерного распределения.