Принципы умеренно больших уклонений для траектории случайных блужданий и процессов с независимыми приращениями

Пусть $\xi,\xi_1,\xi_2,\ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных $d$-мерных случайных векторов, с нулевым средним и единичной ковариационной матрицей. Пусть
$$ S_0:=0,\quad S_n:=\sum_{i=1}^{n}\xi_i,\qquad n\ge 1; $$
$s_n=s_n(t),$ $0\le t\le 1,$ — непрерывная случайная ломаная, построенная по узловым точкам $({k}/{n},{S_k}/{x})$, $0\le k\le n$, где $x=x(n)\gg\sqrt{n}$, $x=o(n)$ при $n\to \infty$. Для $s_n$ доказан принцип умеренно больших уклонений, устанавливающий для широкого класса измеримых множеств $B$ непрерывных функций соотношение
$$ \ln {\mathbf {P}}(s_n\in B)\sim -\frac{x^2}{n}\inf_{f\in B}I(f), $$
где
$$ I(f):=\left\{
\begin{array}{ll} \frac{1}{2}\int_0^1|f'(t)|^2\,dt,&\text{если}\ f(0)=0,\ f\ \text{абсолютно непрерывна};\\ \infty&\text{в остальных случаях}. \end{array}
\right. $$
Принцип умеренно больших уклонений установлен также для однородных процессов с независимыми приращениями.