Структура разложимых редуцированных ветвящихся процессов. I. Конечномерные распределения

Рассматривается ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона с $N$ типами частиц, занумерованными числами $1,2,\dots,N$, в котором частицы типа $i$ могут производить потомков лишь типов $j\ge i$. Такой разложимый процесс можно интерпретировать как модель развития популяции, индивидуумы которой могут находиться на одном из $N$ островов, имеющих номера $1,2,\dots,N$, причем частица популяции имеет тип $i$, если она находится на острове $i$. Новорожденные частицы острова $i\le N-1$ либо остаются на родном острове, либо сразу после рождения иммигрируют на один из островов $i+1,i+2,\dots,N$. Частицы с острова $N$ не мигрируют.
Пусть $Z_i(m,n)$ — число частиц типа $i$, существующих в рассматриваемом процессе в момент $m<n$ и имеющих непустое потомство в момент $n$. Предполагая, что исходный процесс Гальтона–Ватсона является строго критическим, мы исследуем свойства конечномерных распределений процесса
$$ {\mathbf Z}(m,n)=(Z_1(m,n),\dots,Z_N(m,n)) $$
в зависимости от скорости роста параметра $m=m(n)$ при $n\to\infty$.