Maximum inequalities for rearrangements of summands and assignments of signs

В статье изучается взаимосвязь между расстановками знаков и перестановками слагаемых в форме вероятностных максимальных неравенств. Взаимосвязь основана на лемме, сводящей задачу о перестановках к задаче о выборе знаков. Наряду с упрощением известных доказательств, она позволяет находить новые факты, а также решения в более общих постановках. Одним из главных результатов статьи является следующее неравенство. Пусть $x_1,\dots , x_n$, $\sum_{k=1}^n x_k =0,$ — набор элементов нормированного пространства $X$. Тогда для любого набора знаков $\theta = (\theta_1 , \ldots, \theta_n)$ и любого $t>0$
$$ \bf P \biggl\{\pi: \max_{1\le k \le n} \biggl\Vert\sum_1^k x_{\pi(i)}\biggr\Vert > t\biggr\} \le C\mathbf P\biggl\{\pi: \max_{1\le k \le n}\biggl\Vert\sum_1^k x_{\pi (i)}\theta_i\biggr\Vert> \frac {t}{C}\biggr\}, $$
где $\pi\in \Pi_n$, $\Pi_n$ — группа всех перестановок отрезка $\{1,\dots,n\}$, $\mathbf P $ — равномерное распределение на $\Pi_n$ и $C$ — абсолютная константа. Приведенное неравенство неулучшаемо (обратное неравенство также справедливо с некоторой другой абсолютной константой). Оно обобщает известные результаты Гарсия, Морэ и Пизье, Кашина и Саакяна, Чобаняна и Салехи, и Левенталя. Все результаты настоящей статьи могут быть сформулированы на языке перестановочных случайных величин.