Brownian Motion on a Green Space

Пространство $R$, локально изометричное открытой $N$-мерной сфере, называется пространством Грина размерности $N$. Броуновским движением в $R$ мы называем марковский процесс в этом пространстве, являющийся локально броуновским $N$-мерным движением. Показано, что каждому значению параметра дисперсии однозначно соответствует вероятность перехода для процесса броуновского движения в $R$. Эта вероятность перехода из состояния $\xi$ в состояние $\eta$ за время $t$ имеет плотность $p(t,\xi,\eta)$. Показано, что при разумном выборе этой плотности и равенстве нулю при $t\le0$ функция $p$ при фиксированном $\eta$ определяет гиперпараболическую функцию от $(t,\xi)$, параболическую везде, кроме точки $(0,\eta)$, причем особенность в этой точке такая же, как у плотности вероятности перехода соответствующего $N$-мерного броуновского движения. Кроме того,
$$p(t,\xi,\eta)=p(t,\eta,\xi).$$

Пусть $R(\pm)$ есть прямое произведение $R$ и прямой. Процесс теплового движения с исходной точкой $(s,\xi)$ в $R(\pm)$ представляет собой процесс $\{[s-t,z(t)],t\geq0\}$, где процесс $z(t)$ есть броуновское движение в $R$ с исходной точкой $\xi$. Показано, что при любом $\eta$ функция $p(\cdot,\cdot,\eta)$ имеет предел, равный нулю, вдоль почти всех путей процесса теплового движения, начинающихся в любой точке $R(\pm)$. Эти пути выходят за пределы любого компактного подмножества $R(\pm)$ по мере увеличения своих параметров. (Верхняя граница значений параметра зависит от пути.) Функция перехода более сложного, а также несимметричного вида обладает аналогичными свойствами для любого непустого открытого подмножества в $R(\pm)$.
Указанные функции являются функциями Грина своих пространств. Функция $\int_0^\infty{p(t,\cdot,\cdot)\,dt}$ собой функцию Грина на $R$ в том случае, если $R$ имеет положительную границу, т. е. если имеется непостоянная ограниченная субгармоническая функция в $R$. Последний результат для случая, когда R есть подмножество пространства Эвклида размерности $N$, был получен Хантом.
Задача Дирихле решается в вероятностных терминах как для параболических функций, определенных на открытых подмножествах в $R(\pm)$, так и для гармонических функций в $R$. Приводимое построение возможно и тогда, когда граница в рассматриваемом пространстве неопределена.