A Theorem on Ordered Sets of Probability Distributions

Пусть во множестве $A=\{ a,b,c,\dots\}$ установлено бинарное отношение порядка: для любых двух элементов имеет место хотя бы одно из соотношений:
\begin{align} a&\gtrsim b(а\text{ не хуже, чем }b),\\b&\gtrsim a(b\text{ не хуже, чем }а).\end{align}
Если выполнено (1), но не имеет места (2), то $a>b$ ($a$ лучше, чем $b$). Пусть $X_2=\{x,y,z,\dots\}$ множество всех распределений, каждое из которых сосредоточено не более чем на двух элементах множества $A$. Если отношение порядка для элементов множества $A$ можно расширить на $X_2$, то, при некоторых простых условиях регулярности $X_2$ доказывается существование такой действительной функции $f(a)$, определенной на $A$, что для любых $x$, $y$ из $X_2$ соотношение $x>y$ справедливо тогда и только тогда, когда
$$\mathbf E_x f(a)>\mathbf E_y f(a).$$