Gaussian approximation of the distribution of strongly repelling particles on the unit circle

В статье рассматривается модель $n$ упорядоченных сильно отталкивающихся частиц $\{e^{i \theta_j}\}_{j=0}^{n-1}$ с плотностью
$$ p(\theta_0,\dots, \theta_{n-1})=Z_n^{-1} \exp \biggl\{-\frac{\beta}2\sum_{j \neq k} \sin^{-2} \biggl(\frac{\theta_j-\theta_k}2\biggr)\biggr\},\qquad \beta>0. $$
Пусть $\theta_j=2\pi j/n+x_j/n^2+\mathrm{const}$ таково, что $\sum_{j=0}^{n-1}x_j=0$. Определим $\zeta_n(2\pi j/n)=x_j/\sqrt{n}$ и продолжим $\zeta_n$ кусочно линейным образом на $[0, 2 \pi]$. Доказывается функциональная сходимость $\zeta_n(t)$ к $\zeta(t)=\sqrt{2/\beta} \operatorname{Re} (\sum_{k=1}^{\infty} (1/k) e^{ikt} Z_k)$, где $Z_k$ — независимые одинаково распределенные комплексные стандартные гауссовские случайные величины.