Normal limit law for protected node profile of random recursive trees

Защищенные вершины, т.е. вершины с расстоянием не менее $2$ до ближайшего листа, были изучены для различных классов случайных корневых деревьев. В предложенной статье исследуется профиль защищенных вершин, т.е. количество защищенных вершин, находящихся на фиксированном расстоянии от корня в случайном рекурсивном дереве. В случае, когда отношение указанного расстояния к логарифму размера дерева стремится к нулю, мы находим асимптотические представления для математического ожидания, дисперсии и ковариации между профилями защищенных и незащищенных вершин в случайных рекурсивных деревьях. Мы также показываем, используя двумерную характеристическую функцию и сингулярный анализ, что совместное распределение профилей защищенных и незащищенных вершин является в пределе двумерным нормальным распределением.