Asymptotic behavior of a multilevel type error for SDEs driven by a pure jump Lévy process

Вдохновляясь многоуровневым методом Монте-Карло, введенным М. Б. Джайлсом (Oper. Res., 56 (2008)), мы изучаем асимптотическое поведение процесса нормированной ошибки $u_{n,m}(X^n-X^{nm})$, где $X^n$ и $X^{nm}$ — эйлеровы аппроксимации с временны́м шагом $1/n$ и $1/(nm)$ соответственно решения заданного стохастического дифференциального уравнения, управляемого чисто скачкообразным процессом Леви. В статье доказывается, что эта нормированная многоуровневая оценка, в зависимости от поведения меры Леви вблизи нуля, сходится к различным нетривиальным предельным процессам с различными точными скоростями $u_{n,m}$. Наши результаты согласуются с результатами Ж. Жакода (Ann. Probab., 32:3 (2004)), полученными для нормированной ошибки $u_n(X^n-X)$, так как, если устремить $m$ к бесконечности, мы получим те же самые предельные процессы. Для многоуровневой ошибки доказательства в настоящей работе довольно трудны, поскольку, в отличие от работы Жакода, нам приходится иметь дело с $m$ зависимыми сериями вместо одной.