On the $q$-continuous natural exponential family

В этой статье мы представляем концепцию $q$-натуральных экспоненциальных семейств в рамках $q$-исчисления, которое расширяет классическое понятие, используя $q$-ядро $e_q^{\theta x f(x)^{q-1}}$ вместо традиционного экспоненциального ядра $e^{\theta x}$. Этот подход позволяет нам повторно вывести несколько установленных результатов и исследовать дополнительные параллели с экспоненциальными семействами. Ядерная функция была исследована в различных контекстах для оценки конкретных интегральных форм. Вдохновленные приложениями в статистической механике, мы исследуем свойства $q$-натурального экспоненциального семейства ($q$-NEF). Кроме того, мы выводим $q$-преобразование Лапласа функции плотности и демонстрируем выпуклость этой функции. Мы устанавливаем, что $q$-NEF однозначно характеризуется своей функцией $q$-дисперсии в пределах своей области $q$-средних, которая часто проще, чем соответствующая порождающая вероятностная мера. Эта характеризация облегчается связью между $q$-средним и функцией $q$-дисперсии $q$-NEF. Более того, мы предоставляем явные вычисления для $q$-NEF и функций $q$-дисперсии $q$-гауссовского и $q$-экспоненциального распределений.