Об оценке плотности распределения с помощью ряда фурье

Рассматривается классическая статистическая задача оценки плотности распределения по выборке из этого распределения. Данная задача возникает в различных прикладных областях при попытке изучить вероятностную структуру некоторого случайного процесса. Например, с помощью оценки плотности можно идентифицировать некоторую структуру в сложной системе, а затем сделать выводы о неизвестных параметрах этой системы. В данной работе предлагается новый способ оценивания плотности распределения, основанный на аппроксимации логарифма плотности рядом Фурье, коэффициенты которого вычисляются с помощью решения некоторой системы линейных уравнений. Анализ теоретических свойств такой оценки является основной задачей данной работы. Основными результатами данной работы являются оценка отклонения в супремум-норме и оценка расстояния Кульбака – Лейблера между аппроксимацией плотности и истинным значением. Полученные оценки являются параметрическими и имеют порядок сходимости «с большой верятностью» $O(1/\sqrt{N})$, что является стандартными порядками в задачах параметрического оценивания. Константы в порядках получены с точностью до некоторого абсолютного множителя, т.е. исследована ее зависимость от всех параметров задачи. В качестве численного примера рассматривается оценка плотности распределения Коши.