О неулучшаемости предельной теоремы вложения разных метрик в пространствах Лоренца с весом Эрмитта

В работе получено неравенство разных метрик в пространствах Лоренца с весом Эрмитта для кратных алгебраических многочленов и на ее основе установлено достаточное условие вложения разных метрик в пространствах Лоренца с весом Эрмитта. Его неулучшаемость показана в терминах “крайней функции”. А именно установлены следующие утверждения.
Пусть $f\in L_{p,\theta}(\mathbb R_n;\rho_n)$, $1\leq p<+\infty$, $1\leq\theta\leq+\infty$. Последовательность $\{l_k\}_{k=0}^{+\infty}\subset\mathbb N$ такова, что $l_0=1$ и $l_{k+1}\cdot l_k^{-1}>a_0>1$, $\forall k\in\mathbb Z^+$. $f(\bar x)=\sum_{k=0}^{+\infty}\Delta_{l_k,\dots,l_k}(f;\bar x)$ – некоторое представление функций в метрике $L_{p,\theta}(\mathbb R_n;\rho_n)$, где $\Delta_{l_0,\dots,l_0}(f;\bar x)=T_{1,\dots,1}$, $\Delta_{l_k,\dots,l_k}(f;\bar x)=T_{l_k,\dots,l_k}(\bar x)-T_{l_{k-1},\dots,l_{k-1}}(\bar x)$, $\forall k\in\mathbb N$. Здесь
$$ T_{l_k,\dots,l_k}(\bar x)=\sum_{m_1=0}^{l_k-1}\dots\sum_{m_n=0}^{l_k-1}a_{m_1,\dots,m_n}\prod^n_{i=1}x^{m_i}_i $$
– алгебраические многочлены при всех $k\in\mathbb Z^+$.
$1^0$. Если при некоторых $q$ и $\tau$: $p<q<+\infty$, $0<\tau<+\infty$ ряд
$$ A(f)_{p\theta}=\sum_{k=0}^{+\infty}l_k^{\tau(\frac n{2p}-\frac n{2q})}\|\Delta_{l_k,\dots,l_k}(f)\|_{L_{p,\theta}(\mathbb R_n;\rho_n)}^\tau $$
сходится, то $f\in L_{q,\tau}(\mathbb R_n;\rho_n)$ и при этом справедливо неравенство:
$$ \|f\|_{L_{q,\tau}(\mathbb R_n;\rho_n)}\leq C_{pq\theta\tau n}\times(A(f)_{p\theta})^\frac1\tau. $$

$2^0$. Условие пункта $1^0$ неулучшаемо в том смысле, что существует функция $f_0\in L_{p,\theta}(\mathbb R_n;\rho_n)$, для которой ряд $A(f_0)_{p\theta}$ расходится и при этом $f_0\notin L_{q,\tau}(\mathbb R_n;\rho_n)$.
В то же время, для любого $\varepsilon>0$: $p<(q-\varepsilon)<q$ функция $f_0\in L_{q-\varepsilon,\tau}(\mathbb R_n;\rho_n)$.