RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Уфимский математический журнал // Архив

Уфимск. матем. журн., 2020, том 12, выпуск 2, страницы 3–9 (Mi ufa509)

Произведения собственных функций и вронскианы

А. А. Аллахвердян, А. Б. Шабат

Адыгейский государственный университет, ул. Первомайская, 208, 385000, г. Майкоп, Россия

Аннотация: Рассматриваются новые вронскианные тождества, открытые недавно в г. Майкопе. Обсуждаются связи этих тождеств с теорией интегрируемых систем и с общей теорией обратимых преобразований Дарбу для линейных дифференциальных операторов с одной независимой переменной. Объектами изучения в данной работе являются однородные относительно группы растяжений отношения вронскианов двух различных порядков $N$ и $N'>N$. Элементы первого вронскиана порядка $N$ являются произвольными функциями, что существенно расширяет возможности теории, а элементы второго вронскиана образованы произведениями заданной степени $n\ge2$ этих функций. Группа растяжений позволяет перейти к проективным координатам в рассматриваемом отношении вронскианов и определить, в частности, вложение симметрических функций и многочленов в рассматриваемую теорию.
Наиболее простым оказывается, естественно, случай $N=2,$ в котором второй вронскиан из произведений оказывается степенью исходного вронскиана и, таким образом, рассматриваемое отношение вронскианов вообще не зависит от выбора элементов основного вронскиана второго порядка. В этом случае получены также новые уравнения для кубов и т.д. собственных функций одномерного оператора Шредингера, обобщающие известные уравнения для квадратов, связанное с производной Шварца и КдФ иерархией.
Случай $N=3$ представляется чрезвычайно интересным с различных точек зрения, но его исследование требует дальнейшего развития методов проективной теории вронскианов с использованием логарифмических производных и их высших аналогов.

Ключевые слова: факторизация, матрица Вронского, производная Шварца, уравнение Риккати, преобразования Дарбу.

УДК: 517.41

MSC: Primary 35P05; Secondary 35B10

Поступила в редакцию: 07.02.2020


 Англоязычная версия: Ufa Mathematical Journal, 2020, 12:2, 3–9

Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024