Об одной дифференциальной игре нейтрального типа с интегральными ограничениями в гильбертовом пространстве

В области теории дифференциальных игр, когда игра задается в конечномерном пространстве, фундаментальные работы выполнили академики Л.С. Понтрягин и Н.Н. Красовский. Работы Н.Н. Красовского и его учеников посвящены в основном позиционным играм. А в работах Л.С. Понтрягина и его учеников дифференциальная игра рассматривается отдельно с точки зрения преследующего и с точки зрения убегающего, что неизбежно связывает дифференциальную игру с двумя различными задачами. В дальнейшем актуально исследовать игры в бесконечномерных пространствах, ибо многие важные задачи об оптимальном управлении, в условиях конфликта или неопределенности, управляемые распределенными системами, движение которых описывается интегро-дифференциальными уравнениями и дифференциальными уравнениями в частных производных, могут быть сформулированы и изучены как дифференциальные игры в подходящих банаховых пространствах. В данной работе в гильбертовом пространстве рассматривается задача преследования в смысле Л.С. Понтрягина для квазилинейной дифференциальной игры, когда динамика игры описывается функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа в форме Дж. Хейла с линейным замкнутым оператором, а на управления игроков наложены интегральные ограничения. Доказаны вспомогательная лемма и четыре теоремы о достаточных условиях разрешимости задачи преследования. В лемме показано, что соответствующая неоднородная задача Коши для рассматриваемой игры, имеет решение в смысле Дж. Хейла. В теоремах, используя конструкцию типа первого прямого метода Понтрягина и идею М.С. Никольского и Д. Зонневенда о растяжении времени $J(t)$, описаны множества начальных положений, из которых возможно завершение преследования.