Об орбитах в $ \mathbb C^4 $ $7$-мерных алгебр Ли, имеющих две абелевы подалгебры

Статья связана с задачей описания голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей многомерных комплексных пространств на основе свойств соответствующих этим многообразиям алгебр Ли и их нильпотентных и абелевых подалгебр. С использованием классификаций обширного семейства $7$-мерных разрешимых неразложимых алгебр Ли ранее авторами статьи были изучены орбиты алгебр, имеющих «сильные» коммутативные свойства. В частности было установлено, что $7$-мерная алгебра Ли, имеющая абелеву подалгебру размерности $5$, не допускает в пространстве $ \mathbb C^4 $ Леви–невырожденных орбит.
В настоящей статье изучены все $82$ типа разрешимых неразложимых $7$-мерных алгебр Ли, имеющих в точности две $4$-мерные абелевы подалгебры и $6$-мерный ниль–радикал. Доказано, что для $75$ таких типов алгебр любая $7$-мерная орбита в $ \mathbb C^4 $ либо вырождена по Леви, либо сводится голоморфным преобразованием к трубчатому многообразию. Представлены все (с точностью до локальных голоморфных преобразований координат) реализации $7$ исключительных типов абстрактных алгебр Ли в виде алгебр голоморфных векторных полей в $ \mathbb C^4 $. Для большинства таких реализаций приведены координатные описания орбит, являющихся голоморфно однородными невырожденными вещественными гиперповерхностями этого пространства.