Об одной системе функций, порождающей классические ортогональные системы алгебраических полиномов

В отличие от двух общеизвестных методов введения классических ортогональных систем алгебраических полиномов (см. соответственно [1–5]) в настоящей работе предлагается совершенно иной метод введения этих же полиномов. Одновременно для них даются также отличные от известных интегральные представления. Последние, по сравнению с известными в литературе формулами Рoдрига, просты и, что еще важнее, подынтегральные функции немногозначны, а однозначны. В работе доказывается, что система функций
$$I^{(\alpha,\beta)}_{n,n_1,a}(x)=\frac{\mathrm{a\!e}_{n,n_1,a}}{2\pi_i} \int\limits_C \frac{(1-\frac{x}{a})^{n_1+\zeta}(\frac{x}{a})^{-\zeta}}{\Gamma(n_1+\zeta+\alpha+1)\Gamma(-\zeta+\beta+1)}\cdot\frac{d\zeta}{\prod\limits^n_{v=0}(\zeta+v)},$$
где $n_1\geq n \geq 0$ – целые числа, $\alpha>-1, \beta>-1, a>0$ – произвольные числа, $x\in(0,a)$, простой контур $C$ охватывает окрестности точек $0,-1,-2,...,-n, \mathrm{a\!e}_{n,n_1,a}=\Gamma(n_1+n+\alpha+\beta+2),$ порождает вышеуказанные ортогональные полиномы, а именно: при $n_1=n, a=1$ получаются полиномы Якоби, а при $n_1=a\rightarrow\infty$ – полиномы Лагерра $L^{(\beta)}_n(x),$ умноженные на $\exp^{-x}$. На концах $[0,a] \mathrm{Y}^{(\alpha, \beta)}_{n,n_1,a}(x)$ понимается в смысле $x\rightarrow 0+, x\rightarrow a-$.