О расходимости рядов Фурье-Уолша

Пусть последовательности $\big\{\beta_k\big \}^\infty _{n=1}$ фиксированы так, чтобы
$$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}(M_{2k}-M_{2k-1})=+\infty, \beta_k>0, \lim\limits_{k\rightarrow\infty} \beta_k=0.$$
В работе доказывается, что существует функция $f_0(x) \in L^1_{[0,1]}$ такая, что ряд Фурье от функции $f_0(x)$ по подсистеме
$$\big \{W_{n_k}(x)\big \}_{k=1}^\infty=\big \{W_m(x):M_{2s-1}\leq m\leq M_{2s}, s= 1,2,... \big \}$$
расходится в метрике $L^1_{[0,1]}$, и коэффициенты Фурье-Уолша удовлетворяют условию $\sum\limits_{k=1}^\infty |a_{n_k}|\beta_{n_k}<\infty.$