Однородные разностные схемы для сопряженных задач гидродинамики и упругости

В работе построена конечно-разностная аппроксимация упругих сил на разнесённых лагранжевых сетках, основанная на методе опорных операторов. Для векторов смещений на нерегулярных сетках, на топологическую и геометрическую структуру которых наложены минимальные разумные ограничения, применительно к разностным схемам для задач теории упругости построены аппроксимации операций векторного анализа в плоской и цилиндрической геометрии. С учетом энергетического баланса среды построены семейства интегрально согласованных аппроксимаций операций векторного анализа, достаточные для дискретного моделирования этих процессов с учетом кривизны пространства, вызванной цилиндрической геометрией системы. Рассматриваются схемы, как использующие тензор напряжений в явном виде, так и разделяющие его на шаровую и сдвиговую компоненты (давление и девиатор). Подобное разделение используется для построения однородных уравнений, применимых как для твёрдого тела, так и для испарённой фазы. При построении аппроксимации используется линейная теория упругости. В явном виде приведены результирующие силы в двумерных $xy$- и $rz$-геометриях для сетки, состоящей из треугольных и четырёхугольных ячеек. Обобщение методики на нелинейный тензор деформации, на область неприменимости закона Гука или на трёхмерную геометрию может быть проведено по аналогии, но в настоящей работе подробно не рассматривается. На модельной задаче проведено сравнение различных временных аппроксимаций для построенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, рассмотрены полностью неявная аппроксимация, консервативная неявная аппроксимация и явная аппроксимация, аналогичная методу с перешагиванием (“leap-frog”). Из анализа дисбаланса полной энергии и сравнения вычислительной стоимости сделан вывод о преимуществе последней. Эффективность использования различных аппроксимаций проанализирована в вычислительных экспериментах.